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  深空探测学报  2017, Vol. 4 Issue (4): 340-345  DOI: 10.15982/j.issn.2095-7777.2017.04.005
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引用本文 

杨佳鑫, 吕胜男, 丁希仑. 基于Bennett机构的柱面拟合可展机构设计及分析[J]. 深空探测学报, 2017, 4(4): 340-345. DOI: 10.15982/j.issn.2095-7777.2017.04.005.
YANG Jiaxin, LV Shengnan, DING Xilun. Design and Analysis of Approximate Cylindrical Deployable Mechanism with Bennett Linkages[J]. Journal of Deep Space Exploration, 2017, 4(4): 340-345. DOI: 10.15982/j.issn.2095-7777.2017.04.005.

基金项目

国家自然科学基金重点资助项目(51635002);青年科学基金资助项目(51605011)

作者简介

杨佳鑫(1993– ),女,硕士研究生,主要研究方向:空间可展机构。通讯地址:北京市海淀区学院路37号(100191)电话:(010)82339055 E-mail:jessieyao_buaa@163.com;
吕胜男(1987– ),女,博士后,主要研究方向:空间可展机构。通讯地址:北京市海淀区学院路37号(100191)电话:(010)82339055 E-mail:lvshengnan5@gmail.com;
丁希仑(1967– ),男,教授,主要研究方向:机构学、机器人学。通讯地址:北京市海淀区学院路37号(100191)电话:(010)82338005 E-mail:xlding@buaa.edu.cn

文章历史

收稿日期:2017-07-24
修回日期:2017-08-04
基于Bennett机构的柱面拟合可展机构设计及分析
杨佳鑫, 吕胜男, 丁希仑    
北京航空航天大学 机械工程及自动化学院,北京 100191
摘要: 可展机构既可展开至指定构型用于工作,也可收拢以便于运输,在航天和建筑等领域具有广阔的应用前景。本文提出并设计了一种以Bennett过约束机构为基本组成单元的可展机构,该机构的工作形面可拟合柱面,且具有全部杆件可紧凑折叠成一束的收拢构型。对Bennett机构进行了几何描述,并分析其运动学特性;利用剪式机构实现了单元机构的组合连接,保证了设计关键点准确位于目标参数曲面上,计算了所设计的可展机构的展收比;对机构的运动学及动力学性能进行了仿真分析,验证了所提出的设计,为后续的样机研制提供了理论依据。验证结果表明:本文提出的Bennett过约束机构单元组合简单、形面拟合精度高、刚度大,能够很好地应用于该圆柱面天线的设计。该研究对航天可展机构的设计分析具有参考价值。
关键词: 可展机构    Bennett机构    柱面拟合    运动学分析    
Design and Analysis of Approximate Cylindrical Deployable Mechanism with Bennett Linkages
YANG Jiaxin, LV Shengnan, DING Xilun     
School of Mechanical Engineering & Automation,Beihang University,Beijing 100081,China
Abstract: Deployable mechanisms can be deployed to the designated configuration for work, and can also be folded for facilitating transportation. It has broad application prospects in space, architecture, and other fields. A deployable mechanism is presented, which uses the Bennett over-constraint mechanism as a basic element. Working surface of the mechanism can be fitted to cylindrical surface. Meanwhile, all bars of the mechanism can be compactly folded into a bundle configuration. Firstly, geometric description of the Bennett mechanism is analyzed, and its kinematic characteristics are discussed. Secondly, combination of unit mechanism is realized by using the scissors linkage, ensuring that the design key points are accurately located on the target surface. Finally, kinematics and dynamic performances of the mechanism are simulated, validating the proposed design and providing theoretical fundamental for the follow-up prototype development.The Bennett over-constraint mechanism in this paper is simple and have high precision and rigidity, which can be well applied to the cylindrical surface of the antenna design. This study is of great value to the design and analysis of aerospace deployable mechanism.
Key words: deployable mechanism; Bennett linkages    cylindrical surface    kinematics analysis    simulation    
0 引 言

在航天技术中,由于运载工具有效载荷舱几何尺寸的限制,卫星和空间站等航天器广泛采用可展机构,通过改变机构的物理形状和尺寸,以满足实际需求。与一般机构相比,可展机构具备操作简单快捷、完全收拢状态占用空间小、可重复利用、便于运输和储存等优点[1]。随着航空宇航事业的深入发展,空间可展机构正朝着大口径、高精度、轻质化方向发展,同时也要求天线结构具有较大的收纳率和优良的展开性能。

目前,对于可展机构的研究主要集中在机构的运动学、动力学分析上,而对可展机构单元本身的设计尤其是空间可展机构单元的设计研究甚少。现有的可展机构大多由单元机构组合构成,杆件可紧凑收拢并展开至不同形状,由单元机构组合构成的大型空间可展机构的典型代表有:ETS-VIII卫星采用六边形模块,CSPDA环形桁架式展开天线将内外两层剪单元相连,AstroMesh天线则利用四边形结构单元对角伸缩的特点实现展开与收拢[2-3]

为使可展机构获得更高的强度和展收比,在其设计中广泛应用了空间过约束单元机构。O’Brian和Phelan基于Sarrus单元机构设计了一种环形展收机构[4],Chen等探讨了Bricard机构和Bennett机构在可展机构中的应用[5]。Lu等将第三类Bricard机构作为基本单元提出了一种新型可展机构[6]

近年来,可展柱面结构作为航天器基础部件得到越来越多的应用。柱面形面具有方向性强、增益高,易于光束自动扫描等特点,已经成为空间可展天线形面的重要发展方向。Bennett机构是经典的过约束空间四杆机构,本文提出一种以其作为基本组成单元的单自由度可展机构。该机构通过剪式机构连接Bennett机构,保证了可展机构具有全部杆件可紧凑折叠成一束的收拢构型,且其设计关键点可准确落在目标柱面上。

1 Bennett机构运动学分析 1.1 Bennett机构及其展收条件

Bennett机构是唯一含有4个转动副的单回路空间过约束连杆机构。一般情况下,Bennett机构各轴线之间既不相交也不平行。保证该机构实现单自由度运动的几何条件是:相对的两杆件长度相等,分别为ab;相对的转动副轴线转角相等,分别为αβ;杆长与转角的关系满足 $b\sin \alpha = a\sin \beta $ ;各转轴沿转动副轴线方向的偏移为零[5]。各变量θ1θ2θ3θ4随机构运动而变化,并始终满足

$\begin{array}{l}{\theta _1}{\rm{ + }}{\theta _3}{\rm{ = }}2\pi \\[5pt]{\theta _2}{\rm{ + }}{\theta _4}{\rm{ = }}2\pi \\[5pt]\tan \displaystyle\frac{{{\theta _1}}}{2}\tan \frac{{{\theta _2}}}{2} = \frac{{\sin \frac{1}{2}(\beta + \alpha )}}{{\sin \frac{1}{2}(\beta - \alpha )}}\end{array}$ (1)

上述条件保证了Bennett机构的运动仅存在一个独立变量,图 1给出了Bennett机构的示意图。

图 1 Bennett机构[7] Fig. 1 The Bennett linkage[7]

Bennett机构是由4根杆件通过4个转动副首尾相连形成的单闭环结构,全部转动轴线均位于一个双曲面的同族母线上。由单叶双曲面的几何特性可知,同族的任意两条母线必为异面直线,而异族的两条母线必共面,因此双曲面的另一族母线中的任意直线均与Bennett机构的4条轴线相交。取该直线为机构杆件的构造线,则该构型下机构各杆件收拢成为一束。图 2所示为一Bennett机构所在的单叶双曲面的两个正交视图。

图 2 单叶双曲面正交视图 Fig. 2 Orthogonal view of hyperboloid structure

遵循D-H坐标系所定义的机构连杆为两相邻轴线的公垂线。在实际应用中,机构杆件的几何形状对其运动不会产生影响,但是会在较大程度上改变机构的几何外形。

为了得到更加紧凑的收拢构型,本研究中采用各连杆长度和运动副轴线转角均相等的Bennett机构作为组成单元,即a = bα = β,如图 3所示。EF分别为 ${M_1}{M_{\rm{3}}}$ ${M_2}{M_{\rm{4}}}$ 的中点,连接EF,可知EF ${M_1}{M_{\rm{3}}}$ ${M_2}{M_{\rm{4}}}$ 的公垂线。 ${\mathit{\boldsymbol{\rho }}_\iota }$ 代表第i个转动副轴线,由ρ1ρ3形成的平面σ1始终与由ρ2ρ4形成的平面σ2垂直。此外,位于σ1面上的一对旋转轴关于σ2对称,反之亦然,如图 3所示。

图 3 Bennett单元机构 Fig. 3 The Bennett unit-mechanism

上述Bennett机构收拢后各杆件在一条直线上重合,而在实际应用中,杆件本身存在不可忽略的厚度,连杆机构的几何外形随着机构的展开运动发生变化,下面将对Bennett机构的进行位置分析。

1.2 位置分析

考虑到Bennett机构各杆件长度相同,存在两个相互垂直的对称平面σ1σ2M1M3关于σ2面对称,M2M4关于σ1面对称。基于此,对机构展收过程进行位置分析。

理想的收拢运动即随着机构的运动,转动关节1和关节3靠近的同时,关节2和关节4也逐渐靠近。将4个杆件相互平行且彼此之间紧密相邻的构型定义为机构完全收拢构型。在4个转动关节 ${\rho _\iota }$ 上取两相邻杆件的交点Mi ${i = 1, \cdots ,4} $ ),当完全收拢时M1M3重合,M2M4重合,且Mi均位于σ1σ2的交线上。

设机构的完全收拢构型为该机构的初始位形,此时 ${\theta _i}{\rm{ = }}0$ 。将输入运动作用于转动关节ρ1上,即输入变量为θ1。如图 4所示,建立固定参考系Oxyz,坐标原点与两杆件交点重合,M1=O。方向向量定义如下:y轴沿着ρ1方向,x轴垂直于σ1Oyz始终与σ1重合。那么,给定以下几何参数——杆件长度l,关节角度 $\gamma ,\delta $ ,可得到一个确定的Bennett结构单元。

图 4 Bennett机构运动分析坐标系 Fig. 4 Coordinate system of the Bennett linkage

对于一个确定的机构,给定输入运动θ1,则M2在坐标系Oxyz下的坐标可表示为

${M_2} = \left( {l\sin \gamma \sin \frac{{{\theta _1}}}{2},l\cos \gamma ,l\sin \gamma \cos \frac{{{\theta _1}}}{2}} \right)$ (2)

通过位置分析可以得出M2M4之间的距离

$\left| {{M_{\rm{2}}}{M_4}} \right| = 2l\sin \gamma \sin \frac{{{\theta _1}}}{2}$ (3)

由式(3)可知,δ $\left| {{M_2}{M_4}} \right|$ 无影响。

若将Bennett机构正交投影于Oyz面,即σ1面上,M2M4的投影点将重合于一点M0,如图 5所示。

图 5 Bennett机构在Oyz面上的投影 Fig. 5 Projection of the Bennett linkage on Oyz

M0M1之间的距离是关于lγθ1的函数

$\left| {{M_1}{M_0}} \right| = l\sqrt {1 - {{\sin }^2}\gamma {{\sin }^2}\frac{{{\theta _1}}}{2}} $ (4)

${M_{\rm{0}}}{M_{\rm{1}}}$ ${M_{\rm{0}}}{M_{\rm{3}}}$ 之间的夹角 $\varphi = \angle {M_1}{M_0}{M_3}$ 可通过下式获得

$\varphi {\rm{ = }}\arccos \frac{\overline{{{M_1}{M_0}} \cdot \overline {{M_1}{M_3}} }}{{\left| {\overline {{M_1}{M_0}} } \right| \cdot \left| {\overline {{M_1}{M_0}} } \right|}}$ (5)
2 可展收圆柱面天线结构设计 2.1 Bennett机构的组合连接

Bennett机构的单元组合连接具有以下4个特征:通过剪式机构实现单元机构的组合连接;连接获得的可展机构具有任意的长宽;机构的工作形面可拟合柱面,且具有全部杆件可紧凑折叠成一束的收拢构型;机构具有单自由度。

关节连接设计是保证Bennett单元机构能够同步展开和收拢以及实现单元连接的关键。综合考虑关节尺寸、杆件长度、连接形式等因素,对连接关节进行了设计,如图 6所示。

图 6 剪式机构连接的两个Bennett机构 Fig. 6 Two Bennett linkages connect with scissors joints

1)同一Bennett机构内的转动副M2M4的关节连接设计采用基本转动副,通过轴销连接,可实现杆件的平稳转动。考虑完全收拢状态下机构运动可能存在奇异,在轴销处安装扭簧以提供驱动力。

2)两个Bennett机构之间利用剪式机构将它们可动地连接在一起。两组Bennett机构分别于 ${M_1}\; \text{、}{M_3}$ 处铰接,通过剪式机构相邻连杆可运动至相互平行的收拢状态。具有不同几何参数的多个Bennett机构通过剪式机构连接可保证组合机构仍具有单自由度。如图 6所示,杆件1和杆件2通过轴销连接在一起,在运动过程中始终保持为一个整体;连杆3与连杆4通过轴套连接,在运动个过程中也是一个整体。

由位置分析可知,δ $\left| {{M_2}{M_4}} \right|$ 不产生影响。将若干具有相同lγ的Bennett单元机构顺次连接,使各Bennett机构的σ1面重合,当单元机构的δ发生变化时,机构杆件在Oyz面内的投影角度会变化,但 $\left| {{M_2}{M_4}} \right|$ 相同。

两种不同大小的Bennett机构组成的网状结构完全展开后可形成圆柱面。图 7所示为Bennett机构的组网示意图,在所组成的机构网络中,位于同一行的Bennett机构均具有相同的δ,而位于同一列的Bennett机构则具有相同的γ

图 7 Bennett机构的组网示意图 Fig. 7 Tessellation of the Bennett network
2.2 天线的背架设计

在拟合目标曲面的过程中,大Bennett机构中所有设计关键点均落在所拟合的圆柱面上,而小Bennett机构只有两个点位于曲面上。

用分段法得到圆柱面展开天线的关键设计点位置,如图 8所示。根据运动学计算,获得了可展机构中大Bennett机构的几何参数, $l = 377.6$ $\;\gamma = 60^\circ $ $\delta = 139.076$ ,小Bennett机构的几何参数 $l = 110.06$ $\;\gamma = 60^\circ $ $\delta = 59.281$ 。基于这两种Bennett机构,建立了可展天线的背架模型。

图 8 圆柱面拟合分段示意图 Fig. 8 Illustration of cylindrical fitting segmentation

本论文设计中,可展圆柱面天线包括4个大Bennett单元机构和3个小Bennett单元机构。当 ${\theta _1}{\rm{ = 90}}^\circ $ 时,机构展开曲面近似圆柱面,近似曲率半径为1 033 mm。

2.3 收纳率

基于Bennett单元机构,设计了可展圆柱面天线。大、小Bennett机构连杆截面均为正方形,边长为d,杆长分别为Ll。结构整体采用 $n \times {n_\eta }$ 的单元排列,形成的近似圆柱面的半径为R

收纳率是可展机构的一个基本技术指标。可通过位置分析对可展机构的收纳率进行计算。本文定义收纳率为机构在展开和收拢状态覆盖空间的体积比,其计算公式为

$\eta = \frac{{{V_0}^\prime }}{{{V_0}}}$ (6)

其中:V0为机构的收拢体积; ${V_0}^\prime $ 为机构的展开体积。

V0 ${V_0}^\prime $ 计算如下

${V_0} = 4n{n_\eta }{d^2}\left( {l + L} \right)$ (7)
${V_0}^\prime \! =\! {R^2}{n_\eta }\left| {{M_1}{M_3}} \right|\left( {\frac{{\left( {2\pi \!-\! {\varphi _1} \!-\! {\varphi _2}} \right)}}{2}n \!-\! \frac{{\sin \left( {\left( {2\pi - {\varphi _1} \!-\! {\varphi _2}} \right)n} \right)}}{2}} \right)$ (8)

其中: $\left| {{M_1}{M_3}} \right|$ 可由公式(5)得出。

因此基于Bennett机构组合的可展机构的收纳率 $\eta $

$\eta = \frac{{4{d^2}\left( {l + L} \right)}}{{{R^2}{n_\eta }\left| {{M_1}{M_3}} \right|\left( {\displaystyle\frac{{\left( {2\pi - {\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)}}{2}n - \displaystyle\frac{{\sin \left( {\left( {2\pi - {\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)n} \right)}}{2}} \right)}}$ (9)

$\eta $ 越大,说明该机构的收纳率越高。相较于其他参数,收纳率与杆件的横截面积关系更大,采用更细的杆件,收纳体积会有显著的减少。Bennett单元机构的排列数量 $n \times {n_\eta }$ 对机构收纳率的影响不大,但是Bennett机构单元数目越多拟合曲面精度越高。

3 仿真模型建立与动力学分析

图 9给出基于上述的结构设计得到的机构模型,既可收拢成束,又可展开拟合圆柱面。

图 9 展开收拢仿真图 Fig. 9 Kinematic simulation of a circular half-cylinder

基于该模型,应用Creo软件对其进行动力学分析,着重分析运动输入关节的驱动力矩。如图 10所示,给定转轴不同的输入运动,使其分别按正弦和线性进行变化。通过动力学分析,得到了不同运动下驱动力矩的变化曲线。通过观察可发现,两个仿真力矩曲线均存在多个波峰,仿真机构在展开和收拢过程中均存在力矩突然增大的点。在该位形下该机构可能奇异,后续研究中我们将针对此现象展开深入研究。

图 10 不同输入运动下关节驱动力矩仿真曲线 Fig. 10 Simulation curve of joint driving torque under different input motion
4 结 论

本文介绍了一种以Bennett过约束机构为基本组成单元的可展收圆柱面天线,该机构具有单自由度和高收纳率,既可收拢成束,又可展开拟合圆柱面。

在对一类特殊Bennett机构的几何特征、收拢过程杆件的位置等运动学特性分析的基础上,获得了Bennett机构能够组合形成可动连接的几何条件。利用剪式机构实现单元机构的组合连接,通过关节设计保证Bennett单元机构能够顺利展开和收拢。对机构进行仿真模型建立与动力学分析,得到不同输入运动下关节驱动力矩变化情况。

本文提出的Bennett过约束机构单元组合简单、形面拟合精度高、刚度大,能够很好地应用于该圆柱面天线的设计。本文的研究对航天可展机构的设计分析具有重要价值。

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