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  深空探测学报  2016, Vol. 3 Issue (1): 90-96  DOI: 10.15982/j.issn.2095-7777.2016.01.014
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张卓, 张泽旭, 谭浩. 基于鲁棒协同控制方法的多航天器交会问题[J]. 深空探测学报, 2016, 3(1): 90-96. DOI: 10.15982/j.issn.2095-7777.2016.01.014.
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Zhang Z, Zhang Z X, Tan H. Robust Coordination Control for Multi-Spacecraft Rendezvous Problems[J]. Journal of Deep Space Exploration, 2016, 3(1): 90-96. DOI: 10.15982/j.issn.2095-7777.2016.01.014.
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基金项目

国家自然科学基金资助课题(61374213,61573247)

文章历史

收稿日期:2015-08-20
修回日期:2015-10-29
基于433 Eros的多面体引力模型精度与运行时间研究
张卓, 张泽旭, 谭浩    
哈尔滨工业大学 深空探测基础研究中心, 哈尔滨 150080
摘要: 提出一种解决多航天器交会问题的协同控制算法。首先应用图论中邻接矩阵及拉普拉斯矩阵的定义及其相关性质,描述了多航天器之间的通信拓扑关系;其次对目标航天器轨道为椭圆形情况下的交会问题进行构建,并设计了相应的协同控制算法;最后利用李雅普诺夫函数证明该系统的稳定性,并且能够保证消耗的能量最优以及最大推力受限。仿真实验表明:提出的方法可以实现多航天器的协同交会,验证了该方法的有效性。
关键词: 多航天器交会    协同控制    输入受限    鲁棒控制    
Robust Coordination Control for Multi-Spacecraft Rendezvous Problems
ZHANG Zhuo, ZHANG Zexu, TAN Hao    
Deep Space Exploration Research Center, Harbin Institute of Technology, Harbin 150080, China
Abstract: This paper proposes a coordination controller for the multi-spacecraft rendezvous problems. The communication topology among multiple spacecraft is firstly described with the help of adjacency matrix properties by using the graph theory. Then the problem of multi-spacecraft rendezvous under the case that the orbit of target spacecraft is ellipse has been described, and the coordination controller is designed. Finally, the stability of system has been proved by applying the Lyapunov function method, further, the energy cost is optimized and the maximum control force is constrained. The simulation example illustrates the effectiveness of the theoretical results and shows that the proposed coordination controller can achieve the multi-spacecraft rendezvous.
Key words: mulit-spacecraft rendezvous    coordination control    input constrain    robust control    
0 引言

航天器编队由一组空间分布且相互绕飞的航天器组成,编队中各成员航天器在星间信息交互的基础上协同工作以构成一颗虚拟航天器,以实现大航天器的功能或传统单颗大航天器无法完成的空间任务[1]。航天器编队飞行在合成孔径雷达、间歇式无源导航、空间光学干涉仪以及三维立体成像等诸多领域有着重要的应用前景[2, 3]。与传统单一大型航天器相比,多航天器编队飞行无论是在系统鲁棒性、冗余性和可重构性等性能方面,还是在天基超长基线和虚拟观测平台等功能应用方面都具有无可比拟的优势。因此,航天器编队的概念一经提出,就迅速成为航天领域的研究热点和焦点[4, 5, 6]

在航天器执行深空探测的任务中,能量消耗及控制输入受限问题也是非常值得关注的重点问题。对于能量以及推进能力非常有限的航天器编队系统,必须考虑到燃料消耗最优以及控制输入受限的问题,即控制力的最大值不能够过大,否则将超出推进器的能力范围。

文献[7]针对航天器之间可能存在的通讯故障现象,考虑了仅有部分航天器能够获得自身状态信息的情况,研究了一种基于一致性理论的航天器编队飞行协同控制方法。文献[8]分别研究了多航天器位置及姿态协同控制问题,并针对星间通讯拓扑结构微动态的情况,设计了相应的控制律。张凡(2010)[9]在研究航天器编队控制及多航天器姿态同步协同控制的过程中进一步考虑了航天器间的碰撞规避问题,并利用人工势场法解决了该问题。王东哲(2012)[10]在分析常规航天器编队体系结构的基础上,提出了一种基于虚拟结构混合式编队体系结构的描述方法,并设计了航天器绕飞轨道转移小推力鲁棒控制律。更多的研究可参考上述文献中提到的相关成果。值得注意的是,以上几篇文献在研究多航天器编队协同控制问题中,均假设主星/目标星的轨道为圆轨道,而该假设显然具有一定的局限性。

多航天器交会控制实际上是航天器编队控制的一个特例,编队控制一般要求多个航天器形成一个几何构型,而在交会中,这个几何构型就是一个点。本文以多航天器交会控制问题为背景,利用代数图论和Lyapunov稳定性理论,设计了多航天器交会协同控制算法,旨在保证多颗航天器能够交会至目标航天器处。并且针对前述文献假设目标星的轨道为圆轨道的情况,讨论了目标航天器轨道为椭圆形的情况,以期为多航天器编队提供一种有效的交会控制策略。

1 图论基础

本文将N颗编队卫星之间的通讯拓扑结构看作一个加权有向拓扑图 $G{\text{ }} = {\text{ }}(V,E)$ ,其中 $V{\text{ }} = {\text{ }}{v_1},{v_2},...,{v_N}$ 表示节点的集合,而节点 ${v_i}$ , $i \in \{ 1,2,...,N\} $ ,则代表第i颗卫星。 $E \subseteq V \times V$ 表示由每两个节点构成的边的集合。无向图G的边由一对节点 $({v_i},{v_j})$ 表示,其含义为:第i颗卫星可以通过无线传输的形式从第j颗卫星接收信号。而边 $({v_i},{v_i})$ 则称为环,不包含环的拓扑图称为简单图;含有环的图则称为多重图。在图G中,节点Vi到节点Vj的路径由一系列边 $({v_i},{v_{{k_1}}})$ , $({v_{{k_1}}},{v_{{k_2}}})$ ,…, $({v_{{k_l}}},{v_j})$ 来表示。若拓扑图的任意两个节点之间都至少有一条有向路径连接,则称图G是强连通图;而如果拓扑图的任意两个节点之间都至少有一条无向路径连接,则称图G为弱连通图。

矩阵 $A = [{a_{ij}}] \in {2{R}^{N \times N}}$ 表示拓扑图G的关联矩阵,其中:当节点vi上有一个环时,aii = 1,否则aii = 0;如果 $({v_i},{v_j}) \in E$ ,则aij = 1,否则为零。矩阵 $L = [{l_{ij}}] \in$ $ {2{R}^{N \times N}}$ 表示图G的Laplacian矩阵,其中: ${l_{ii}} = \sum\nolimits_{j = 1}^N $ $ {{a_{ij}}} $ , ${l_{ij}} = - {a_{ij}}(i \ne j)$ 。节点vi的入度(由其他节点指向节点vi的边的个数)和出度(由节点vi指向其他节点的边的个数)分别由 $\deg _i^{in} = \sum\nolimits_{j = 1}^N {{a_{ij}}} $ 和 $\deg _i^{out} = \sum\nolimits_{j = 1}^N {{a_{ji}}} $ 来表示,若 $\deg _i^{in} = \deg _i^{out}$ ,则称图G为平衡图。

假设 1. 拓扑图G是至少包含一个环的弱连通图,且图G是平衡图。

引理 1[11]. 对于有向拓扑图G,若其是至少包含一个环的弱连通图,且为平衡图,则有 $({L} + {{L}^{\rm{T}}})/2 > 0$ 。

根据引理1易知,存在一个正定参数σ,满足 $0{\text{ }} \leqslant \omega \leqslant {\lambda _{\min }}[(L + {L^{\text{T}}})/2]$ 。

2 问题构建及控制器设计 2.1 问题构建

本文的目的是设计适当的控制算法,使得多个受控卫星与目标卫星实现交会,如图 1所示。

图 1 多航天器交会系统示意图 Fig. 1 Multi-spacecraft rendezvous system

当目标卫星的轨道为椭圆轨道时,第i颗卫星与目标星之间的相对动力学模型为

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\ddot x}_i} - 2\omega {{\dot y}_i} - \omega {y_i} - {\omega ^2}{x_i} = \frac{{2\mu }}{{{r^3}}}{x_i} + {a_{ix}}} \\ {{{\ddot y}_i} + 2\omega {{\dot x}_i} + \omega {x_i} - {\omega ^2}{y_i} = - \frac{\mu }{{{r^3}}}{y_i} + {a_{iy}}i = 1,\cdots ,N} \\ {{{\ddot z}_i} = - \frac{\mu }{{{r^3}}}{z_i} + {a_{iz}}} \end{array}} \right.,$ (1)

为了便于设计控制器,我们将式(1)进行适当的整理,并写成如下所示的状态空间模型

$\dot X(t) = \bar A{X_i}(t) + Bu(t),i = 1,\cdots ,N$ (2)
其中
$\begin{array}{*{20}{l}} {\bar A = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {000100} \\ {000010} \\ {000001} \\ {{\omega ^2} + \frac{{2\mu }}{{{r^3}}}\dot \omega 002\omega 0} \\ { - {\omega ^2} - \frac{\mu }{{{r^3}}}0 - 2\omega 00} \\ {00 - \frac{\mu }{{{r^3}}}000} \end{array}} \right],} \\ {{X_i} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{x_i}} \\ {{y_i}} \\ {{z_i}} \\ {{{\dot x}_i}} \\ {{{\dot y}_i}} \\ {{{\dot z}_i}} \end{array}} \right],{u_i} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{ix}}} \\ {{a_{iy}}} \\ {{a_{iz}}} \end{array}} \right],B = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {000} \\ {000} \\ {000} \\ {100} \\ {010} \\ {001} \end{array}} \right]} \end{array}$

可以看出,当目标星轨道为椭圆轨道时,状态空间方程(2)的系数矩阵 $\bar {A}$ 是时变的,这使得线性矩阵不等式的方法不能适用。因此,本节将其分割为 $\bar {A}{\rm{ = }}{{A}_0} + \Delta {A}(t)$ ,各自的表达式为

$\begin{array}{*{20}{l}} {{A_0} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {000100} \\ {000010} \\ {000001} \\ {3\omega _m^20002{\omega _m}0} \\ {000 - 2{\omega _m}00} \\ {00 - \omega _m^2000} \end{array}} \right],} \\ {\Delta A = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {000000} \\ {000000} \\ {000000} \\ {\omega _m^2{\delta _a} - 2\omega _m^2e{\delta _2}002{\omega _m}{\delta _1}0} \\ {2\omega _m^2e{\delta _2}\omega _m^2{\delta _b}0 - 2{\omega _m}{\delta _1}00} \\ {00 - \omega _m^2{\delta _3}000} \end{array}} \right]} \end{array}$ (3)

其中: ${{{ω}} _m} = \sqrt {\mu /{p^3}} $ ;

${\delta _1}(t) = 2e\cos \theta + {e^2}{\cos ^2}\theta $ ;

${\delta _2}(t) = \sin \theta {\left( {1 + e\cos \theta } \right)^3}$ ;

${\delta _3}(t) = 3e\cos \theta + 3{e^2}{\cos ^2}\theta + {e^3}{\cos ^3}\theta $ ;

${\delta _a}(t) = 2{\delta _1}(t) + \delta _1^2(t) + {\delta _3}(t) - 1$ ;

${\delta _b}(t) = 2{\delta _1}(t) + \delta _1^2(t) - {\delta _3}(t)$ ;

p为半正交弦; e为偏心率;θ为真近点角。由于真近点角的正余弦值都是有界的,因此,变量 δ1δ2δ3δaδb均为有界变量。令 ${\bar \delta _1}$ 、 ${\bar \delta _2}$ 、 ${\bar \delta _3}$ 、 ${\bar \delta _a}$ 、 ${\bar \delta _b}$ 分别为5个变量的上/下确界,即 $\left| {{\delta _1}(t)} \right|{\text{ }} \leqslant {\bar \delta _1}\left| {{\delta _2}(t)} \right| \leqslant {\bar \delta _2}\left| {{\delta _3}(t)} \right|{\text{ }} \leqslant {\bar \delta _3}\left| {{\delta _a}(t)} \right|{\text{ }} \leqslant {\bar \delta _a}\left| {{\delta _b}(t)} \right| \leqslant {\bar \delta _b}$ 。那么时变矩阵 $\Delta {A}(t)$ 便可以视作有界不确定度,即 $\Delta {A}(t) = {D}{F}(t){E}$ ,其中

$\begin{array}{*{20}{l}} {D = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {0000000} \\ {0000000} \\ {0000000} \\ {0111000} \\ {1000110} \\ {0000001} \end{array}} \right]} \\ {E = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {000 - 2{\omega _m}{{\bar \delta }_1}00} \\ {00002{\omega _m}{{\bar \delta }_1}0} \\ {\omega _m^2{{\bar \delta }_a}00000} \\ {0 - 2\omega _m^2e{{\bar \delta }_2}0000} \\ {2\omega _m^2e{{\bar \delta }_2}00000} \\ {0\omega _m^2{{\bar \delta }_b}0000} \\ {00 - \omega _m^2{{\bar \delta }_3}000} \end{array}} \right]} \\ {F(t) = diag\{ {\delta _1}(t)/{{\bar \delta }_1},{\delta _1}(t)/{{\bar \delta }_1},{\delta _a}(t)/{{\bar \delta }_a},} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} {\qquad \;} \end{array}{\delta _2}(t)/{{\bar \delta }_2},{\delta _2}(t)/{{\bar \delta }_2},{\delta _b}(t)/{{\bar \delta }_b},{\delta _3}(t)/{{\bar \delta }_3}\} } \end{array}$ (4)

因此,系统(2)可转化为 ${\dot {X}_i}(t) = ({{A}_0} + {E}{F}(t){D})$ ${{X}_i}(t) + {B}{{u}_i}(t)$ ,将其写作高阶增广系统有

$\begin{gathered} \dot X(t) = [{I_N} \otimes ({A_0} + EF(t)D)]X(t) \hfill \\ + ({I_N} \otimes B)u(t) \hfill \\ \end{gathered} $ (5)
其中 $X(t) = {[\begin{array}{*{20}{c}} {X_1^{\text{T}}(t) \ldots X_N^{\text{T}}(t)} \end{array}]^{\text{T}}}{\text{ }}u(t) = \left[ {u_1^{\text{T}}} \right.\left( t \right) \ldots {\left. {u_N^{\text{T}}\left( t \right)} \right]^{\text{T}}}$ 。

在本文中,控制器设计的目的是要保证系统(5)渐进稳定,同时还要满足能量消耗及控制力约束,即

$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } X(t) = 0$ (6)
$\left\| {u(t)} \right\|_2^2{\text{ }} \leqslant {u_m} $ (7)
$J = \int_0^\infty [{u^{\text{T}}}(t)({I_N} \otimes R)u(t) + X_{}^{\text{T}}(t)({I_N} \otimes Q)X(t)]{\text{d}}t{\text{ }} \leqslant \rho$ (8)

2.2 协同控制器设计

为了便于设计控制器,首先给出下面的引理。

引理 2[12]. 对于对称实矩阵矩阵 $\Theta = {\Theta ^{\rm{T}}}$ ,实矩阵 $\bar {E}$ 和 $\bar {F}$ ,若存在正定标量ε使得

$\left[{\begin{array}{*{20}{c}} \Theta &{\bar \varepsilon E}&{^{\text{ - }}{F^{\text{T}}}} \\ *&{ - \varepsilon \$ I}&0 \\ *&*&{ - \varepsilon \$ I} \end{array}} \right]{\text{ }} \leqslant 0$ (9)
则不等式 $\Theta { + ^{\text{ - }}}E\sigma {(t)^{\text{ - }}}F + {(\bar E\sigma (t)\bar F)^{\text{T}}} \leqslant 0$ 成立。其中,时变矩阵\sigma (t)满足: ${\varsigma ^{\text{T}}}(t)\sigma (t){\text{ }} \leqslant I$ 。

设计相应的协同控制算法为

${u_i}(t) = K[\sum\nolimits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({X_i}(t) - {X_j}(t))} + {a_{ii}}{X_i}(t)]$ (10)

对其进行增广变换有 $u(t) = (L \otimes u)X(t)$ ,将其代入到式(5)中,可以得到如下所示的闭环系统

$^ \cdot X(t) = [{I_N} \otimes ({A_0} + EF(t)D) + L \otimes BK]X(t)$ (11)

下面的定理及推论将给出针对有向星间通讯拓扑图的控制增益矩阵设计方法。

定理 1. 对于闭环系统(11),给定系统初值X(0)、拉普拉斯矩阵L和正定参数um,若存在正定对称阵 ${M} \in {2{{\rm{R}}}^{6 \times 6}}$ 、 $\tilde {Q} \in {2{{\rm{R}}}^{6 \times 6}}$ 、 $\tilde {R} \in {2{{\rm{R}}}^{3 \times 3}}$ ,以及标量ερ,使得下面的线性矩阵不等式成立

$\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {AM + M{A^{\text{T}}} - \sigma B{B^{\text{T}}}}&M&{(1/2)B}&{\varepsilon D}&{M{E^{\text{T}}}} \\ {*}&{ - \tilde Q}&{0}&0&{0} \\ {*}&{*}&{{\text{ - }}(1/\gamma )\tilde R}&0&{0} \\ {*}&{*}&{*}&{ - \varepsilon I}&{0} \\ {*}&{*}&*&{*}&{ - \varepsilon I} \end{array}} \right]{\text{ }} \leqslant 0$ (12)
$\left[{\begin{array}{*{20}{c}} { - \rho I}&{X_1^{\text{T}}(0)}&{X_2^{\text{T}}(0)}& \cdots &{X_N^{\text{T}}(0)} \\ *&{ - M}&0& \cdots &0 \\ *&*&{ - M}& \cdots &0 \\ *&*&*& \ddots & \vdots \\ *&*&*&*&{ - M} \end{array}} \right]{\text{ }} \leqslant 0$ (13)
$\left[{\begin{array}{*{20}{c}} { - M}&{\sqrt \rho B} \\ *&{ - (4/\gamma ){u_m}I} \end{array}} \right]{\text{ }} \leqslant 0$ (14)
其中:参数σγ分别满足 $0 \leqslant {\lambda _{\min }}[(L + {L^{\text{T}}})/2]$ 、 $\gamma \geqslant {\lambda _{\max }}({L^{\text{T}}}L)$ 。则闭环系统(11)能够渐进稳定,且满足输入受限条件以及能量受限条件,即式(6)~式(8)成立。此外,控制增益矩阵 ${K} = - (1/2){{B}^{\rm{T}}}{{M}^{ - 1}}$ 。

证:根据引理1,当不等式(12)成立时,有

$\begin{gathered} \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {AM + M{A^{\text{T}}} - \sigma B{B^{\text{T}}}}&M&{(1/2)B} \\ *&{ - \tilde Q}&0 \\ *&*&{ - (1/\gamma )\tilde R} \end{array}} \right] + \hfill \\ \left[{\begin{array}{*{20}{c}} D \\ 0 \\ 0 \end{array}} \right]F(t)\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {EM}&0&0 \end{array}} \right] + \hfill \\ \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {M{E^{\text{T}}}} \\ 0 \\ {0} \end{array}} \right]{F^{\text{T}}}(t)\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{D^{\text{T}}}}&0&{0} \end{array}} \right] \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} $ (15)
整理后可得
$\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{l}} {(A + \Delta A)M + M{{(A + \Delta A)}^{\text{T}}}} \\ { - \sigma B{B^{\text{T}}}} \end{array}}&{M}&{(1/2)B} \\ *&{ - \tilde Q}&{0} \\ *&{*}&{ - (1/\gamma )\tilde R} \end{array}} \right]{\text{ }} \leqslant 0$ (16)

对式(16)两边同时乘以矩阵 $diag\{ {{M}^{ - 1}},{I},{I}\}$ 有

$\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{l}} {{M^{ - 1}}(A + \Delta A)} \\ { + {{(A + \Delta A)}^T}{M^{ - 1}}} \\ { - \sigma {M^{ - 1}}B{B^T}{M^{ - 1}}} \end{array}}&I&{(1/2){M^{ - 1}}B} \\ *&{ - \tilde Q}&0 \\ *&*&{ - (1/\gamma )\tilde R} \end{array}} \right]{\text{ }} \leqslant 0$ (17)

二次应用Schur补引理有

$\begin{gathered} {M^{ - 1}}(A + \Delta A) + {(A + \Delta A)^{\text{T}}}{M^{ - 1}} - \sigma {M^{ - 1}}B{B^{\text{T}}}{M^{ - 1}} \hfill \\ + (\gamma /4){M^{ - 1}}B{{\tilde R}^{ - 1}}{B^{\text{T}}}{M^{ - 1}} + {{\tilde Q}^{ - 1}} \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} $ (18)

令 ${{M}^{ - 1}} = {P}$ 、 ${\tilde {R}^{ - 1}} = {R}$ 、 ${\tilde {Q}^{ - 1}} = {Q}$ ,则不等式(18)可化为

$P(A + \Delta A) + {(A + \Delta A)^{\text{T}}}P - \sigma PB{B^{\text{T}}}P{\text{ }} + Q + \gamma {K^{\text{T}}}RK{\text{ }} \leqslant 0$ (19)

对于系统(11),取Lyapunov函数为 ${V} (t) = {{X} ^{\rm{T}}}(t)$ $({{I} _N} \otimes {P} )X(t)$ ,对Lyapunov函数求导,再根据(19)有

$\begin{array}{*{20}{l}} {\dot V(t) = {X^{\text{T}}}(t)\{ {I_N} \otimes [{{(A + \Delta A)}^{\text{T}}}P + P(A + \Delta A)]} \\ {\qquad \quad \; + L \otimes PBK + {L^{\text{T}}} \otimes {K^{\text{T}}}{B^{\text{T}}}P\} X(t)} \\ {\qquad \;{\mkern 1mu} = {X^{\text{T}}}(t)\{ {I_N} \otimes [{{(A + \Delta A)}^{\text{T}}}P + P(A + \Delta A)]} \\ {\qquad \quad \; - [(L + {L^{\text{T}}})/2] \otimes PB{B^{\text{T}}}P\} X(t)} \\ {\qquad \;{\mkern 1mu} {\text{ }} \leqslant {X^{\text{T}}}(t)\{ {I_N} \otimes [{{(A + \Delta A)}^{\text{T}}}P + P(A + \Delta A)]} \\ {\qquad \quad \; - \sigma PB{B^{\text{T}}}P\} X(t)} \\ {\qquad \;{\mkern 1mu} \leqslant - {X^{\text{T}}}(t)[{I_N} \otimes (Q + \gamma {K^{\text{T}}}RK)]X(t){\text{ }} \leqslant 0} \end{array}$ (20)

当且仅当X(t) = 0时上面不等式中的等号成立,当X(t) = 0时容易得知 $\dot V(t) = 0$ ,也就意味着X(t) = 0。而对于任意的非零向量X(t),均有 $\dot V(t) \leqslant 0$ 。因此,闭环系统(11)是渐进稳定的。能量消耗函数为

$\begin{array}{*{20}{l}} {J = \int_0^\infty [{u^{\text{T}}}(t)({I_N} \otimes R)u(t) + {X^{\text{T}}}(t)({I_N} \otimes Q)X(t)]{\text{d}}t} \\ {\;\;{\mkern 1mu} {\text{ }}\int_0^\infty {\begin{array}{*{20}{l}} {[{X^{\text{T}}}(t)({I_N} \otimes \gamma {K^{\text{T}}}RK)X(t)} \\ { + {X^{\text{T}}}(t)({I_N} \otimes Q)X(t)]{\text{d}}t} \end{array}} } \\ {\;\;{\mkern 1mu} {\text{ }} - \int_0^\infty {\begin{array}{*{20}{l}} {{X^{\text{T}}}(t)\{ {I_N} \otimes [P(A + \Delta A) + {{(A + \Delta A)}^{\text{T}}}P} \\ { - \sigma PB{B^{\text{T}}}P]\} X(t){\text{d}}t} \end{array}} } \\ {\;\; \leqslant - \int_0^\infty \dot V(t){\text{d}}t{\text{ }} \leqslant {X^{\text{T}}}(0)({I_N} \otimes P)X(0)} \end{array}$ (21)

再根据不等式(13)可得 $J \leqslant {X^{\rm{T}}}(0)({I_N} \otimes P)X(0) \leqslant {{ρ}} $ ,即不等式(8)成立。

应用Schur补引理,并通过一系列转化,不等式(14)等价于 $(1/{u_m})(\gamma {I_N} \otimes {K^{\text{T}}}K){\text{ }} \leqslant (1/\rho )({I_N} \otimes P)$ ,又因为 $\gamma \leqslant {\lambda _{\max }}({L^{\text{T}}}L)$ ,则有 $(1/{u_m})({L^{\text{T}}}L \otimes {K^{\text{T}}}K){\text{ }} \leqslant (1/{u_m})$ $(\gamma {I_N} \otimes {K^{\text{T}}}K){\text{ }} \leqslant (1/\rho )({I_N} \otimes P)$ 。因此有 $(1/{u_m}){X^{\rm{T}}}(t)$ $({L^{\text{T}}} \otimes {K^{\text{T}}})(L \otimes K)X(t) \leqslant (1/\rho ){X^{\text{T}}}(t)({I_N} \otimes P)X(t)$ ,即

$(1/{u_m}){u^{\text{T}}}(t)u(t){\text{ }} \leqslant (1/\rho ){X^{\text{T}}}(t)({I_N} \otimes P)X(t)$ (22)

又由于Lyapunov函数的导数 $\dot V(t) \leqslant 0$ ,则有V(t)≤V(0),即 ${X^{\text{T}}}(t)({I_N} \otimes P)X(t) \leqslant {X^{\text{T}}}(0)({I_N} \otimes P)X(0)$ 。而从式(21)中可知 ${X^{\rm{T}}}(0)({I_N} \otimes P)X(0) \leqslant {{ρ}} $ ,因此有 ${X^{\text{T}}}(t)({I_N} \otimes P)X(t) \leqslant \rho $ 。再根据式(22)可得 ${u^{\text{T}}}(t)u(t) \leqslant {u_m}$ ,即 $||u(t)||_2^2 \leqslant {u_m}$ ,从而使得式(7)成立。证毕。

注1. 根据定理1,利用MATLAB中的LMI工具包,可以对标量ρ进行优化(最小化),也就是在式(12)~式(14)有可行解的前提下,求出最小的ρ值。从而可以得到能够保证能量消耗最优的控制律。

3 仿真算例

取地球引力常数 $\mu = 3.986 \times {10^{14}}$ m3/s2、目标星轨道长半轴长 $a = 8.5 \times {10^6}$ m、偏心率e = 2。因此,目标星轨道半正交弦长 $p = a(1 - {e^2}) = 8.16 \times {10^6}$ m,参数 ${\omega _m} = \sqrt {\mu /{p^3}} = 8.5651 \times {10^{ - 4}}$ rad/s。不确定系数将分别为

${\delta _1}(t) = 0.4\cos \theta + 0.04{\cos ^2}\theta $ ;

${\delta _2}(t) = \sin \theta {(1 + 0.2\cos \theta )^3}$ ;

${\delta _3}(t) = 0.6\cos \theta + 0.12{\cos ^2}\theta + 0.008{\cos ^3}\theta $ ;

${\delta _a}(t) = 2{\delta _1}(t) + \delta _1^2(t)$ $ + {\delta _3}(t) - 1$ ;

${\delta _b}(t) = 2{\delta _1}(t) + \delta _1^2(t) - {\delta _3}(t)$ 。

因此时变参数的上界可分别取为: ${\bar \delta _1} = {\rm{0}}{\rm{.44}}$ 、 ${\bar \delta _2} = {\rm{1}}{\rm{.157}}$ 、 ${\bar \delta _3} = {\rm{0}}{\rm{.728}}$ 、 ${\bar \delta _a} = {\rm{2}}{\rm{.078}}$ 、 ${\bar \delta _b} = {\rm{0}}{\rm{.346}}$ 。考虑编队卫星系统中有4颗卫星,4颗卫星的初值分别为

$\begin{gathered} \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}(0)} \\ {{y_1}(0)} \\ {{z_1}(0)} \\ {{{\dot x}_1}(0)} \\ {{{\dot y}_1}(0)} \\ {{{\dot z}_1}(0)} \end{array}} \right] = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {1{\mkern 1mu} 000} \\ {1{\mkern 1mu} 000} \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}} \right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}(0)} \\ {{y_2}(0)} \\ {{z_2}(0)} \\ {{{\dot x}_2}(0)} \\ {{{\dot y}_2}(0)} \\ {{{\dot z}_2}(0)} \end{array}} \right] = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {1{\mkern 1mu} 000} \\ { - 1{\mkern 1mu} 000} \\ 0 \\ 1 \\ { - 1} \\ 0 \end{array}} \right],\hfill \\ \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{x_3}(0)} \\ {{y_3}(0)} \\ {{z_3}(0)} \\ {{{\dot x}_3}(0)} \\ {{{\dot y}_3}(0)} \\ {{{\dot z}_3}(0)} \end{array}} \right] = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} { - 1{\mkern 1mu} 000} \\ {1{\mkern 1mu} 000} \\ 0 \\ { - 1} \\ 1 \\ {0} \end{array}} \right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{x_4}(0)} \\ {{y_4}(0)} \\ {{z_4}(0)} \\ {{{\dot x}_4}(0)} \\ {{{\dot y}_4}(0)} \\ {{{\dot z}_4}(0)} \end{array}} \right] = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} { - 1{\mkern 1mu} 000} \\ { - 1{\mkern 1mu} 000} \\ 0 \\ { - 1} \\ { - 1} \\ 0 \end{array}} \right] \hfill \\ \end{gathered} $

4颗卫星之间的通讯拓扑结构如图 2所示。

图 2 星间通讯拓扑 Fig. 2 Communication topology among spacecraft

相应矩阵的特征值为 $\lambda [(L + {L^{\rm{T}}})/2] \!= \!\{ 0.145\,4,\!\!\!\! \begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}1.000\,0,\!\!\!\! \begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}1.403\,0,\!\!\!\! \begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}2.451\,6\} $ , $\lambda ({L^{\rm{T}}}L) = \{ 0.030\,4,\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}1.856\,0,\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}2.821\,2,\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}6.292\,5\} $ ,则可取σ = 0.145 4、γ = 6.292 5。再取参数 ${u_m} = 1$ ,则可计算出最优能耗参数 ${{{ρ}} _{\min }} = 8.03$ ,控制增益矩阵

$\begin{gathered} K = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} { - 6.757}&{1.678}&0&{ - 264{\mkern 1mu} 9}&{ - 46.69}&0 \\ { - 1.845}&{ - 5.297}&{0}&{ - 46.69}&{ - 242{\mkern 1mu} 7}&{0} \\ 0&0&{ - 20.65}&{0}&{0}&{ - 3{\mkern 1mu} 929} \end{array}} \right] \hfill \\ \times {10^{ - 5}} \hfill \\ \end{gathered} $

根据控制增益矩阵和卫星的各组参数,可以得到如下所示的几组相关曲线。

图 3中可以直观地看出:4颗受控卫星均能够从各自的初始位置最终实现与目标航天器的交会。从图 4可以看出:4颗受控卫星相对于目标星之间的相对位置误差曲线均能够在大约3 000 s内收敛至零附近,且最终的收敛误差值最大值(绝对值)不超过3 cm。从图 5中可以看出:受控卫星受到的控制输入(加速度)在三轴上的分量最大值(绝对值)均不超过0.3 N,完全在可以接受的范围之内。由此可知,本文设计出的针对多航天器交会任务的协同控制算法可行,且效果较好。

图 3 相对运动轨迹在x-y平面内的投影 Fig. 3 相对运动轨迹在x-y平面内的投影

图 4 4颗卫星的位置误差曲线 Fig. 4 Position errors of four spacecraft

图 5 4颗卫星的控制输入曲线 Fig. 5 Control input of four spacecraft
4 结论

本文在有向星间通讯拓扑的基础上,提出了一种基于控制输入受限的相对状态反馈的多航天器交会协同控制算法,研究了多航天器交会问题,讨论了目标星轨道为椭圆形的情况,利用代数图论和Lyapunov稳定性理论分析了系统的稳定性,并应用线性矩阵不等式(LMIs)的方法设计了协同控制算法。最后进行了数值仿真验证,结果表明:所设计的控制算法能以较小的控制力保证多个航天器交会至目标星处。

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