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  深空探测学报  2017, Vol. 4 Issue (4): 390-394  DOI: 10.15982/j.issn.2095-777.2017.04.0013
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引用本文 

康珅, 单家元. 航天器分布式有限时间编队方法[J]. 深空探测学报, 2017, 4(4): 390-394. DOI: 10.15982/j.issn.2095-777.2017.04.0013.
KANG Shen, SHAN Jiayuan. Distributed Finite-Time Control Method for Formation Flying[J]. Journal of Deep Space Exploration, 2017, 4(4): 390-394. DOI: 10.15982/j.issn.2095-777.2017.04.0013.

作者简介

康珅(1990– ),男,博士研究生,主要研究方向:协同控制、飞行器制导、动力学建模与仿真等。通讯地址:北京市中关村南大街5号,北京理工大学宇航学院飞行器控制系(100081) E-mail:seankang90@gmail.com

文章历史

收稿日期:2015-09-25
修回日期:2017-05-02
航天器分布式有限时间编队方法
康珅1,2, 单家元1,2    
1. 北京理工大学 宇航学院,北京 100081;
2. 飞行器动力学与控制教育部重点实验室,北京 100081
摘要: 以二阶积分环节作为单体航天器动力学模型,在固定通信拓扑的基础上,假设每个航天器仅获取相邻航天器的速度位置信息,设计了分布式有限时间跟踪控制算法,并证明了算法的有效性。在该算法的基础上,采用了虚拟结构和阶级控制方法,使第一阶级航天器接受虚拟领队形成的虚拟结构信息,次级航天器接受上一级航天器信息,给出了有限时间编队方法,并通过数值仿真验证了该编队算法。
关键词: 分布式控制    航天器编队    有限时间收敛    阶级控制    
Distributed Finite-Time Control Method for Formation Flying
KANG Shen1,2, SHAN Jiayuan1,2     
1. School of Aerospace Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China;
2. Key Laboratory of Dynamic and Control of Flight Vehicle, Ministry of Education, Beijing 100081, China
Abstract: In this paper, a dynamic model of single spacecraft is simulated by a double integrator and the communication topology is assumed fixed. Based on the information exchanges among neighbors, the distributed finite-time control protocol is designed and mathematically verified. Adopt the presented control protocol and combined with virtual structure and hierarchical protocol, the formation algorithm is designed, where in a group spacecraft on a lower level takes orders from spacecraft on a higher level. The numerical simulation is conducted, verifying the effectiveness of the proposed method.
Key words: distributed control    formation flying    finite-time stable    hierarchical control    
0 引 言

航天器编队是由若干颗航天器组成编队,保持一定相对位置关系,各航天器间密切联系,共同完成某项空间任务的飞行技术,是近年来空间科学领域研究热点之一。编队系统一般由一颗主航天器和几颗围绕其飞行的从航天器组成,各航天器之间距离较近,从几十米到几十千米。航天器编队具有成本低、系统冗余性和鲁棒性强、自主性高等特点,具有广阔的应用前景。分布式控制是2005年后出现的控制方式,旨在减轻通信负担,增强被控对象的自主性。在分布式控制策略中,每颗航天器均具有独立的局部决策能力,仅采用相邻单位信息,应用相互的通信网络协调,便可形成期望的编队运动。典型的协同控制方式有主从式、基于行为和虚拟结构的方式等。

早期的航天器位置编队主要以领从方式为主,更多考虑轨道动力学对于航天器编队的影响。在轨道动力学的基础上,多采用HCW(Hill-Clohessy-Wiltshire)方程等模型,附加控制约束或控制指标,进行分析设计[1-4]。分布式控制出现后,大量研究偏向于将动力学模型简化为二阶积分环节,侧重通信拓扑特性以及分布式控制对编队的影响,文献[5]讨论了通信延时对于一致性的影响;文献[6]~文献[7]在有向图的基础上,设计了切换拓扑下的跟踪控制器,并在一定切换模式下证明了其有效性;文献[8]基于二阶积分环节和切换拓扑,设计了分布式观测器用于提取速度信息,并完成了一致性控制器的设计。在阵型控制方面,文献[9]引入虚拟结构的概念,实现了航天器编队的分布式姿态控制;文献[10]针对一阶积分模型设计了有限时间稳定的阵型控制算法。

本文以二阶积分环节为模型,设计了航天器编队的分布式有限时间跟踪控制器,同时采用虚拟结构和阶级控制方法,实现了有限时间的阵型控制,并通过数值仿真验证了算法的有效性。

1 预备知识

为突出有限时间控制器设计,本文航天器编队问题的动力学系统如下

$\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\dot x}_i}(t) = {v_i}(t),}\\[15pt]{{{\dot v}_i}(t) = {u_i}(t),}\end{array}} \right.}&{i = 1, \cdots n}\end{array}$ (1)

其中: ${x_i}(t),{v_i}(t),{u_i}(t) \in {R^N},N = 1,2,3$ 分别为第i个航天器的位置、速度和控制输入。当i = 0时,即x0v0分别代表领队或虚拟领队的位置和速度。

1.1 运算符号

对于向量 $\mathit{\boldsymbol{a}} = {({a_1}, \cdots ,{a_n})^{\rm T}}$ $\mathit{\boldsymbol{b}} = {({b_1}, \cdots ,{b_n})^{\rm T}}$ ,定义 $\mathit{\boldsymbol{a}} \odot \mathit{\boldsymbol{b}} = {({a_1}{b_1}, \cdots ,{a_n}{b_n})^{\rm T}}$ 。令 ${\left| {\bf{\alpha }} \right|^\alpha } = {({\left| {{a_1}} \right|^\alpha }, \cdots ,{\left| {{a_n}} \right|^\alpha })^{\rm T}}$ ${\rm{sig}}(\mathit{\boldsymbol{a}}) = {({\rm sign}({a_1}), \cdots ,{\rm sign}({a_n}))^{\rm T}}$ ,其中 $\alpha > 0$ ,则定义 ${\rm{sig}}{(\mathit{\boldsymbol{a}})^\alpha } = {\rm{sig}}(\mathit{\boldsymbol{a}}) \odot {\left| \mathit{\boldsymbol{a}} \right|^\alpha }$

1.2 代数图论

本文采用无向图描述航天器之间的通信拓扑。对于无领从关系的多航天器系统,认为每个航天器为顶点,其间的信息交互由无向图G表示,记为 $G = \left\{ {V,E,A} \right\}$ ,其中 $V = \left\{ {{\upsilon _i},i = 1, \cdots ,n} \right\}$ 为所有顶点构成的集合, $E \subseteq \!V \! \times \! V$ 为所有边构成的集合。 $\mathit{\boldsymbol{A}} = [{a_{ij}}] \in {R^{n \times n}}$ 是图G的邻接矩阵,定义为

${a_{ij}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}1, &{({\upsilon _i},{\upsilon _j}) \in E}\\[12pt]0, &{({\upsilon _i},{\upsilon _j}) \notin E}\end{array}} \right.$

对于带有权重的邻接矩阵A,其元素aij定义为当 $(j,i) \in E$ 时,即航天器i可获取航天器j的信息时, ${a_{ij}} > 0$ ;反之, ${a_{ij}} = 0$ 。对于无向图,有aij = aji

定义顶点 ${\upsilon _i}$ 的邻居所构成的集合为Ni ${N_i} =$ $ \left\{ {j:({\upsilon _i},{\upsilon _j}) \in E} \right\}$ ,记顶点 ${\upsilon _i}$ 的出度为 ${\deg _{{\rm{out}}}}({\upsilon _i}) = {d_i} = $ $ \sum {_{j \in {N_i}}{a_{ij}}} $ ,则图G的度量矩阵可表示为 $\mathit{\boldsymbol{D}} =$ ${\rm{diag}}\left\{ {{d_1}, \cdots ,{d_n}} \right\}$ 。因此,图G的拉普拉斯矩阵可表示为 $\mathit{\boldsymbol{L}} = \mathit{\boldsymbol{D}} - \mathit{\boldsymbol{A}}$

对于有领从关系的多航天器系统, ${\upsilon _0}$ 表示领航天器, ${\upsilon _1}, \cdots ,{\upsilon _n}$ 表示从航天器,则包含领队的图G的顶点集变为 $\bar V = V \cup \left\{ {{\upsilon _0}} \right\}$ 。领从之间的通信拓扑关系由 $B = {\rm{diag}}\left\{ {{b_1}, \cdots ,{b_n}} \right\}$ 表示,为领–从单向通信。若从航天器能接收到领队信息,则 ${b_i} > 0$ ;反之, ${b_i} = 0$

1.3 定义及引理

引理1[11]  对于矩阵 $\mathit{\boldsymbol{B}} = {\rm{diag}}\left\{ {{b_1}, \cdots ,{b_n}} \right\}$ ,若 ${b_i} \geqslant 0,i = 1, \cdots ,n$ $\sum\nolimits_{i = 1}^n {{b_i} > 0} $ ,无向图G的拉普拉斯矩阵 $\mathit{\boldsymbol{\bar L}} = \mathit{\boldsymbol{L}} + \mathit{\boldsymbol{B}}$ 是正定的,当且仅当无向图G是连通的。

引理2[12]  考虑系统

$\dot x = f(x),f(0) = 0,x \in {R^n}$

假定存在一个定义在原点邻域 $U \in {R^n}$ 上的连续正定函数 $V(x)$ ,并且存在实数c>0和 $\alpha \in (0,1)$ ,使得 $\dot V(x) + cV{(x)^\alpha } \leqslant 0$ ,则系统原点是有限时间稳定的,且稳定时间T满足 $T \leqslant \displaystyle\frac{{V{{(x(0))}^{1 - \alpha }}}}{{c(1 - \alpha )}}$ 。若 $U = {R^n}$ $V(x)$ 是径向无界的,则系统的原点是全局有限时间稳定的。

定义1  (有限时间跟踪)对于系统(1),控制律 ${u_i}(t)$ 可实现有限时间跟踪控制,当且仅当存在某一有限时间t*,有

$\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{t \to {{(t*)}^ - }} \left| {{x_i}(t) - {x_0}(t)} \right| = 0,\mathop {\lim }\limits_{t \to {{(t*)}^ - }} \left| {{v_i}(t) - {v_0}(t)} \right| = 0\\[18pt]{x_i}(t) = {x_0}(t),{v_i}(t) = {v_0}(t),\begin{array}{*{20}{c}}{}&{t \geqslant {t^*}}\end{array}\end{array} \right.$

其中: ${x_0}(t)$ ${v_0}(t)$ 为领航天器状态或虚拟领航天器的状态。

2 主要结果 2.1 有限时间跟踪控制

为不失一般性,首先从 ${x_i},{v_i},{u_i} \in R$ 出发,设计有限时间跟踪控制律。

考虑如下跟踪控制律

$\begin{array}{l}{u_i} = - {\rm{sig}}{\left( {{k_1}\sum\limits_{j \in {N_i}} {{a_{ij}}\left( {{x_i} - {x_j}} \right){\rm{ + }}{k_2}{b_i}\left( {{x_i} - {x_0}} \right)} } \right)^{\frac{\alpha }{{2 - \alpha }}}} - \\[12pt]\quad \quad\;\; {\rm{sig}}{\left( {{k_1}\sum\limits_{j \in {N_i}} {{a_{ij}}\left( {{v_i} - {v_j}} \right){\rm{ + }}{k_2}{b_i}\left( {{v_i} - {v_0}} \right)} } \right)^\alpha }\end{array}$ (2)

其中: $i = 1, \cdots ,n$ $\alpha \in \left( {0,1} \right)$ ${k_1} > 0$ ${k_2} > 0$ 。当α = 1时,控制律(2)退化为双积分环节的无限时间收敛控制律。

定理1  若表示航天器间通信拓扑的无向图G为连通图,且至少有一个航天器能接收到领队信息,则在控制律(2)的作用下,系统(1)可以实现有限时间跟踪控制。

证明:令 ${\bar x_i} = {x_i} - {x_0},{\bar v_i} = {v_i} - {v_0}$ ,并将控制律式(2)带入式(1),可得

(3)

其中: ${\tilde a_{ij}} = {k_1}{a_{ij}},{\tilde b_i} = {k_2}{b_i}$

$\bar x = \left( {{{\bar x}_1},...,{{\bar x}_n}} \right),$ $\bar v = \left( {{{\bar v}_1},...,{{\bar v}_n}} \right)$ $p = \left( {{p_1},...,{p_n}} \right),$ $p = \left( {{q_1},...,{q_n}} \right)$ 并令 ${p_i} = - \sum\limits_{j \in {N_i}} {{{\tilde a}_{ij}}\left( {{{\bar x}_i} - {{\bar x}_j}} \right) - {{\tilde b}_i}{{\bar x}_i}} ,$ ${q_i} = $ $ - \sum\limits_{j \in {N_i}} {{{\tilde a}_{ij}}\left( {{{\bar v}_i} - {{\bar v}_j}} \right) - {{\tilde b}_i}{{\bar v}_i}} $ ,则有 $p = - (\tilde L + \tilde B)\bar x,q = - (\tilde L + \tilde B)\bar v$ ,其中 $\tilde L = {k_1}L,\tilde B = {k_2}B$ 。上述变换将 ${\left( {{{\bar x}^{\rm{T}}},{{\bar v}^{\rm{T}}}} \right)^{\rm{T}}}$ 有限时间稳定问题转化为 ${\left( {{p^{\rm{T}}},{q^{\rm{T}}}} \right)^{\rm{T}}}$ 有限时间稳定问题。

将上述变换代入(3),可得误差系统

$\left\{ \begin{array}{l}\dot p = q\\\dot q = - (\tilde L + \tilde B)\left( { - {\rm{sig}}{{\left( {(\tilde L + \tilde B)\bar x} \right)}^{\displaystyle\frac{\alpha }{{2 - \alpha }}}} - {\rm{sig}}{{\left( {(\tilde L + \tilde B)\bar v} \right)}^\alpha }} \right)\\ = - (\tilde L + \tilde B)\left( {{\rm{sig}}{{\left( p \right)}^{\displaystyle\frac{\alpha }{{2 - \alpha }}}} + {\rm{sig}}{{\left( q \right)}^\alpha }} \right)\quad\quad\quad\quad\quad\quad(4)\end{array} \right.$

取备选李雅普诺夫函数

$\begin{array}{c}V(p,q) =\displaystyle \frac{1}{2}{q^{\rm{T}}}{\left( {\tilde L + \tilde B} \right)^{ - 1}}q + \\\displaystyle\frac{{2 - \alpha }}{2}{\left( {{{\left| p \right|}^{\frac{1}{{2 - \alpha }}}}} \right)^{\rm{T}}}{\left| p \right|^{\displaystyle\frac{1}{{2 - \alpha }}}}\end{array}$

由引理1可知,当 $\alpha \in \left( {0,1} \right)$ 时,V正定。延系统式(4)轨线进行微分,可得

$\begin{array}{l}\dot V(p,q) = {q^{\rm{T}}}{\left( {\tilde L + \tilde B} \right)^{ - 1}}\dot q + {\left( {{{\left| p \right|}^{\frac{1}{{2 - \alpha }}}}} \right)^{\rm{T}}}sig{(p)^{\frac{1}{{2 - \alpha }}}} \odot \dot p\\[10pt]\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{ = - }\end{array}{q^{\rm{T}}}sig{(p)^{\frac{\alpha }{{2 - \alpha }}}} - {q^{\rm{T}}}sig{(q)^\alpha } + {\left( {sig{{(p)}^{\frac{\alpha }{{2 - \alpha }}}}} \right)^{\rm T}}q\\[10pt]\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}& = \end{array} - {\left( {{{\left| q \right|}^{\frac{{1 + \alpha }}{2}}}} \right)^{\rm{T}}}{\left| q \right|^{\frac{{1 + \alpha }}{2}}} \leqslant 0 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\;\,(5)\end{array}$

根据式(4)和式(5)可得如下性质

$V({k^{2 - \alpha }}p,kq) = {k^2}V(p,q)$ (6)
$\dot V({k^{2 - \alpha }}p,kq) = {k^{{\rm{1 + }}\alpha }}\dot V(p,q)$ (7)

由式(6)可知V径向无界。取 $k = V{(p,q)^{ - \frac{1}{2}}}$ ,代入式(6)和式(7),可得

$\begin{array}{c}V\left( {V{{(p,q)}^{ - \frac{{2 - \alpha }}{2}}}p,V{{(p,q)}^{ - \frac{1}{2}}}q} \right) = \\{\left( {V{{(p,q)}^{ - \frac{1}{2}}}} \right)^2}V(p,q) = 1\end{array}$ (8)
$\begin{array}{c}\dot V\left( {V{{(p,q)}^{ - \frac{{2 - \alpha }}{2}}}p,V{{(p,q)}^{ - \frac{1}{2}}}q} \right) = \\\frac{{\dot V(p,q)}}{{V{{(p,q)}^{\frac{{{\rm{1 + }}\alpha }}{2}}}}} \leqslant \mathop {\sup }\limits_{(p,q) \in \varOmega } \dot V(p,q)\end{array}$ (9)

其中: $\varOmega = \left\{ {\left( {{k^{2 - \alpha }}p,kq} \right):{{\left( {{p^{\rm{T}}},{q^{\rm{T}}}} \right)}^{\rm{T}}} \in {R^{2n}}\backslash \left\{ {{{({0^{\rm{T}}},{0^{\rm{T}}})}^{\rm{T}}}} \right\}} \right\}$ ,由式(8)可知, $\varOmega = \left\{ {\left( {p,q} \right):V\left( {p,q} \right) = 1} \right\}$ 。由于V径向无界,可知Ω为紧集, $\dot V$ Ω内有连续的定义。由于 $(0,0) \notin \varOmega $ ,可知

$\begin{array}{c}\frac{{\dot V(p,q)}}{{V{{(p,q)}^{\frac{{{\rm{1 + }}\alpha }}{2}}}}} \leqslant \mathop {\sup }\limits_{(p,q) \in \bar \varOmega } \dot V(p,q)\\[8pt] = \mathop {\max }\limits_{(p,q) \in \bar \varOmega } \dot V(p,q) = - c\end{array}$ (10)

其中:c>0, $\bar{\varOmega }=\varOmega \backslash \left\{ \left( p,q \right):q=0,{{\left( {{\left| p \right|}^{\frac{1}{2-\alpha }}} \right)}^{\rm T}}\left( {{\left| p \right|}^{\frac{1}{2-\alpha }}} \right)= \right.$ $\left. \frac{2}{2-\alpha } \right\}$ 。因此有 $\dot V(p,q) + c{\left[ {V(p,q)} \right]^{\frac{{{\rm{1 + }}\alpha }}{2}}} \leqslant 0$ ,由引理2可知,除特殊点 $\left\{ {\left( {p,q} \right):q = 0,{{\left( {{{\left| p \right|}^{\frac{1}{{2 - \alpha }}}}} \right)}^{\rm{T}}}\left( {{{\left| p \right|}^{\frac{1}{{2 - \alpha }}}}} \right) = \frac{2}{{2 - \alpha }}} \right\}$ 外,系统(4)是有限时间稳定的,且稳定时间满足 $T \leqslant \frac{2}{{c\left( {1 - \alpha } \right)}}V{(p(0),q(0))^{^{\frac{{{\rm{1 - }}\alpha }}{2}}}}$

下面讨论系统处于特殊点 $\left\{ \left( p,q \right):q=0,{{\left( {{\left| p \right|}^{\frac{1}{2-\alpha }}} \right)}^{\rm T}} \right.$ $\left. \left( {{\left| p \right|}^{\frac{1}{2-\alpha }}} \right)=\frac{2}{2-\alpha } \right\}$ 时的收敛性。此时有

$\left\{ \begin{array}{l}\dot p = 0\\\dot q = - (\tilde L + \tilde B)\left( {sig{{\left( p \right)}^{\frac{\alpha }{{2 - \alpha }}}}} \right)\end{array} \right.$

易知该点不是系统(4)的稳定点,且在该点的邻域 $\left\{ {\left( {p,q} \right):q = \varepsilon ,{{\left( {{{\left| p \right|}^{\frac{1}{{2 - \alpha }}}}} \right)}^{\rm{T}}}\left( {{{\left| p \right|}^{\frac{1}{{2 - \alpha }}}}} \right) = \frac{2}{{2 - \alpha }},\forall \varepsilon \ne 0} \right\}$ 内,总有 $\dot V < 0$ ,且该邻域满足有限时间稳定特性,因此该特殊点不影响系统的稳定性。

综上所述,完成了对定理1的证明。

2.2 有限时间阵型控制

本节采用虚拟结构和阶级控制方法[9],对航天器编队进行阵型组织。首先将航天器群分为数个阶级,第1阶级航天器直接接受虚拟领队的信息,第2阶级航天器则接受第1阶级航天器的信息作为领队信息,以此类推。

定理2  若表示第i级航天器间通信拓扑的图Gi为连通图,且第i级中至少有一个航天器能接收到上一级航天器的信息,则在控制律式(2)的作用下,每一级航天器都可以实现有限时间跟踪控制。

证明同定理1。

3 仿真结果 3.1 有限时间跟踪

本例侧重体现有限时间跟踪控制效果,无具体物理意义。航天器间通信拓扑及初始状态如图 1所示。仿真参数取α = 0.6,k1 = 1,k2 = 3。由图 2及其局部放大图可知,t = 34.5 s时,各航天器均无控制输入,此时由图 3可知,航天器位置速度成功跟踪领航天器状态。

图 1 航天器间通信拓扑及各航天器初始状态 Fig. 1 The communication topology and initial states of spacecrafts
图 2 各航天器的控制输入变化曲线 Fig. 2 The control input of spacecraft
图 3 各航天器的位置和速度变化曲线 Fig. 3 The position and velocity profiles of the spacecraft in the formation
3.2 阵型控制

图 4所示,示例的阵型控制分为2个阶级,第1阶级直接接收来自虚拟领队的信息,跟踪虚拟领队形成的虚拟结构;第2阶级则有部分航天器接受第1阶级的信息,根据分布式原则自组织阵型。

图 4 阶级控制通信拓扑 Fig. 4 Communication topology with hierarchies

在控制参数同上例的情况下,对阵型控制进行三维数值仿真。令虚拟领队形成一个有4个顶点的虚拟结构,第1阶级中的航天器接受该虚拟结构信息,并实行跟踪;第2阶级中的部分航天器接受第1阶级航天器的信息,根据固定拓扑,形成1个四面体编队,如图 5所示。其中虚拟领队以v0 = 1 m/s的速度匀速运动,t = 100 s时,令虚拟结构以0.05 rad/s的角速度进行转动,t = 200 s时停止转动。可见在虚拟结构开始转动的35 s内,跟踪轨迹有轻微的震荡过程,与上例中有限时间跟踪的结论相符合。由此验证了该编队算法的有效性。

图 5 空间编队阵型示意图 Fig. 5 The formation flying in deep-space environment
4 结 论

本文将单体航天器动力学模型简化为二阶积分环节,在无向图的基础上,假设每个航天器仅获取相邻航天器的速度位置信息,设计了分布式有限时间跟踪控制算法,并证明了该算法的有效性。在有限时间跟踪控制算法,采用虚拟结构和阶级控制方法,使第1阶级航天器接受虚拟领队形成的虚拟结构信息,次级航天器接受上一级航天器信息,给出了有限时间编队方法,并通过数值仿真,形成了四面体编队,并实现了有限时间队形变换,验证了编队方法。后续研究将以编队中的避撞问题为重点,进一步提高编队算法的实用性。

参考文献
[1] Lim H C, Bang H. Adaptive control for satellite formation flying under thrust misalignment[J]. Acta Astronautica, 2009, 65(1): 112-122.
[2] De Queiroz M S, Kapila V, Yan Q. Adaptive nonlinear control of multiple spacecraft formation flying[J]. Journal of Guidance,Control,and Dynamics, 2000, 23(3): 385-390. doi: 10.2514/2.4549
[3] Slater G L, Byram S M, Williams T W. Collision avoidance for satellites in formation flight[J]. Journal of Guidance,Control,and Dynamics, 2006, 29(5): 1140-1146. doi: 10.2514/1.16812
[4] Ulybyshev Y. Long-term formation keeping of satellite constellation using linear-quadratic controller[J]. Journal of Guidance,Control,and Dynamics, 1998, 21(1): 109-115. doi: 10.2514/2.4204
[5] Sun Y G, Wang L. Consensus problems in networks of agents with double-integrator dynamics and time-varying delays[J]. International Journal of Control, 2009, 82(10): 1937-1945. doi: 10.1080/00207170902838269
[6] Guo W, Lv J, Chen S. Second-order tracking control for leader–follower multi-agent flocking in directed graphs with switching topology[J]. Systems & Control Letters, 2011, 60(12): 1051-1058.
[7] Lu X, Chen S, Lv J. Finite-time tracking for double-integrator multi-agent systems with bounded control input[J]. IET Control Theory & Applications, 2013, 7(11): 1562-1573.
[8] Hong Y, Chen G, Bushnell L. Distributed observers design for leader-following control of multi-agent networks[J]. Automatica, 2008, 44(3): 846-850. doi: 10.1016/j.automatica.2007.07.004
[9] Cong B L, Liu X D, Chen Z. Distributed attitude synchronization of formation flying via consensus-based virtual structure[J]. Acta Astronautica, 2011, 68(11): 1973-1986.
[10] Xiao F, Wang L, Chen J. Finite-time formation control for multi-agent systems[J]. Automatica, 2009, 45(11): 2605-2611. doi: 10.1016/j.automatica.2009.07.012
[11] Ni W, Cheng D. Leader-following consensus of multi-agent systems under fixed and switching topologies[J]. Systems & Control Letters, 2010, 59(3): 209-217.
[12] Zhou D, Sun S, Teo K L. Guidance laws with finite time convergence[J]. Journal of Guidance,Control,and Dynamics, 2009, 32(6): 1838-1846. doi: 10.2514/1.42976